Update 1227. 飞机座位分配概率.md

杨世超 · 杨世超 · commit d61631020e6c · 2022-04-08T15:33:57.000+08:00
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 那么综合上面情况，可以得到 $f(n)，(n \ge 3)$ 的递推式：
 
-$\begin{align} f(n) & =  \frac{1}{n} * 1.0 + \frac{1}{n} * 0.0 + \frac{1}{n} * \sum_{i = 2}^{n-1} f(n - i + 1) \\ & = \frac{1}{n} (1.0 + \sum_{i = 2}^{n-1} f(n - i + 1)) \end{align} $
+$\begin{aligned} f(n) & =  \frac{1}{n} * 1.0 + \frac{1}{n} * 0.0 + \frac{1}{n} * \sum_{i = 2}^{n-1} f(n - i + 1) \cr & = \frac{1}{n} (1.0 + \sum_{i = 2}^{n-1} f(n - i + 1)) \end{aligned} $
 
 接下来我们从等式中寻找规律，消去 $\sum_{i = 2}^{n-1} f(n - i + 1))$ 部分。
 
 将 $n$ 换为 $n - 1$，得：
 
-$\begin{align} f(n - 1) & =  \frac{1}{n - 1} * 1.0 + \frac{1}{n - 1} * 0.0 + \frac{1}{n - 1} * \sum_{i = 2}^{n-2} f(n - i) \\ & = \frac{1}{n - 1} (1.0 + \sum_{i = 2}^{n-2} f(n - i)) \end{align} $
+$\begin{align} f(n - 1) & =  \frac{1}{n - 1} * 1.0 + \frac{1}{n - 1} * 0.0 + \frac{1}{n - 1} * \sum_{i = 2}^{n-2} f(n - i) \cr & = \frac{1}{n - 1} (1.0 + \sum_{i = 2}^{n-2} f(n - i)) \end{align} $
 
 将 $f(n) * n$ 与 $f(n - 1) * (n - 1)$ 进行比较：
 
-$\begin{align} f(n) * n & = 1.0 + \sum_{i = 2}^{n-1} f(n - i + 1)) & (1) \\ f(n - 1) * (n - 1) & = 1.0 + \sum_{i = 2}^{n-2} f(n - i) & (2) \end{align}$
+$\begin{aligned} f(n) * n & = 1.0 + \sum_{i = 2}^{n-1} f(n - i + 1)) & (1) \cr f(n - 1) * (n - 1) & = 1.0 + \sum_{i = 2}^{n-2} f(n - i) & (2) \end{aligned}$
 
 将上述 (1)、(2) 式相减得：
 
-$\begin{align} & f(n) * n - f(n - 1) * (n - 1) & \\ = & \sum_{i = 2}^{n-1} f(n - i + 1) - \sum_{i = 2}^{n-2}  f(n - i) \\ = & f(n-1) \end{align}$
+$\begin{align} & f(n) * n - f(n - 1) * (n - 1) & \cr = & \sum_{i = 2}^{n-1} f(n - i + 1) - \sum_{i = 2}^{n-2}  f(n - i) \cr = & f(n-1) \end{align}$
 
 整理后得：$f(n) = f(n - 1)$。
 
 已知 $f(1) = 1$，$f(2) = 0.5$，因此当 $n \ge 3$ 时，$f(n) = 0.5$。
 
 所以可以得出结论：
 
-$f(n) = \begin{cases} 1.0 & n = 1 \\ 0.5 & n \ge 2  \end{cases}$
+$f(n) = \begin{cases} 1.0 & n = 1 \cr 0.5 & n \ge 2  \end{cases}$
 
 ## 代码
 
